История западной философии. Том 1

В его представлении числа, наподобие чисел на игральных костях или картах, обладают формой. Мы все еще говорим о квадратах и кубах чисел, и этими терминами мы обязаны Пифагору. Пифагор точно так же говорил о продолговатых, треугольных, пирамидальных числах и т. д. Это были числа горстей гальки (или, более естественно для нас, числа горстей дроби), требуемые для образования формы. Пифагор, очевидно, полагал, что мир состоит из атомов, что тела построены из молекул, состоящих в свою очередь из атомов, упорядоченных в различные формы.

Таким образом, он надеялся сделать арифметику научной основой в физике, так же, как и в эстетике.

Положение, согласно которому сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника, прилежащих к прямому углу, равна квадрату третьей стороны – гипотенузы, было величайшим открытием Пифагора или его непосредственных учеников. Египтяне знали, что треугольник, стороны которого равны 3, 4 или 5, является прямоугольным, но, очевидно, греки первыми заметили, что 3

+ 4

= 5

и, исходя из этого предположения, открыли доказательство общей теоремы.

К несчастью для Пифагора, эта его теорема сразу же привела к открытию несоизмеримости, а это явление опровергало всю его философию. В прямоугольном равнобедренном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату любой из сторон. Предположим, что каждый катет равен одному дюйму; какова в таком случае длина гипотенузы? Допустим, что ее длина равна т/п дюймов.

Тогда m

/n

= 2. Если т и п имеют общий множитель, разделим их на него. В таком случае по крайней мере или т, или п должно быть нечетным. Но теперь учтем, что раз m

= 2 n

, следовательно, m

– четное и, стало быть, т — четное, a n – нечетное. В таком случае предположим, что т = 2 р. Тогда 4 р

= 2 п

; следовательно, п

= 2 р

, следовательно, п — четное, что противоречит допущению.

Поэтому гипотенузу нельзя измерить дробным числом т/п. Это доказательство является по существу доказательством, которое приводится у Евклида в книге X[32 - Однако это доказательство не принадлежит самому Евклиду. См.: Th. Heath. Greek Mathematics. Вышеприведенное доказательство, вероятно, было известно еще Платону.].