Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Есть ли объяснение такому универсальному масштабированию самых разных городов? Существует ли что-то вроде ньютоновского закона всемирного тяготения, применимого ко всему на свете – от яблок до планет и черных дыр?

Чтобы понять, почему город определяется не физическими размерами, а численностью населения, важнее всего осознать, что город состоит не из зданий и улиц, а из людей, которые в нем живут. Город – это сцена, на которой разыгрывается история цивилизации, и разыгрывают ее не актеры, а акторы. Города ценны постольку, поскольку они выполняют функцию сетей, обеспечивающих возможность взаимодействия между людьми.

Значит, модель города должна отражать не его географическое положение, будь то на острове или посреди пустыни, а сетевую структуру взаимодействий его жителей. По-видимому, свойство универсальной масштабируемости, открытое Уэстом, определяется именно качеством сети, возникающей из взаимодействий горожан. Таково могущество математики. Она позволяет увидеть простые структуры, находящиеся в самом сердце нашей сложной среды.

Если взять предельный случай – когда по мере роста города каждый житель контактирует со всеми остальными, – можно увидеть, почему крупный город порождает сверхлинейный рост. Если численность его населения равна N, максимальным числом связей между ними будет количество разных рукопожатий, которые могут совершить эти N жителей. Выстроим их в ряд и пронумеруем от 1 до N. Горожанин номер 1 проходит вдоль ряда, пожимая всем руки, – всего N – 1 рукопожатий.

После него вдоль ряда проходит горожанин номер 2. Он уже пожал руку горожанину № 1, так что он прибавляет к сумме N – 2 рукопожатий. Так продолжается и дальше, и на долю каждого следующего горожанина приходится на одно рукопожатие меньше. Общее число рукопожатий равно сумме чисел от 1 до N – 1. Давно не виделись! Это то самое вычисление, которое задали Гауссу. Его шорткат дал формулу для вычисления этого числа:

1/2 ? (N – 1) ? N.

Что происходит с количеством связей при удвоении N? Число рукопожатий не удваивается, а увеличивается в 2 в квадрате – то есть 4 – раза.

Число рукопожатий пропорционально квадрату числа жителей города.

Этот пример прекрасно показывает, почему математика может избавить нас от необходимости снова и снова изобретать колесо. Хотя я задал совершенно другой вопрос, касавшийся связей в сети, оказалось, что для анализа роста этого числа у меня уже есть инструменты, полученные из анализа треугольных чисел.