Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Приведенная стоимость бессрочной ренты, по которой m раз в год выплачивается сумма А, может быть найдена следующим образом:

1.4. Внутренняя доходность финансовых инструментов

Внутренней доходностью (internal rate of return – IRR) финансового инструмента называют процентную ставку, при которой приведенная стоимость потока платежей по данному финансовому инструменту совпадает с его рыночной ценой.

Пример 1.8. Финансовый инструмент продается по цене 1243,82 долл., и по нему каждые 6 месяцев выплачивается по 50 долл. в течение 5 лет и еще 1000 долл. в конце пятого года. Покажем, что внутренняя доходность данного финансового инструмента при начислении процентов дважды в год составляет 4,5 %.

Приведенная стоимость денежного потока по данному финансовому инструменту определяется следующим образом:

где r(2) – годовая процентная ставка при начислении процентов дважды в год.

При r(2) = 0,045 имеем

Так как приведенная стоимость денежного потока, определяемого финансовым инструментом, совпала с его рыночной ценой, то внутренняя доходность этого инструмента действительно равна 4,5 %.

Рассмотрим финансовый инструмент со следующим потоком платежей:

Внутренняя доходность рассматриваемого финансового инструмента при начислении процентов m раз в год является решением уравнения:

где Р – рыночная цена финансового инструмента.

Функция

стоящая в правой части уравнения (1.14), всегда является убывающей и выпуклой. График функции изображен на рис. 1.1.

Для решения уравнения (1.14) можно использовать метод проб и ошибок. Вначале найдем простым подбором числа ?

и ?

так, чтобы P(?

) > Р, а P(?

) < Р (рис. 1.2). Тогда искомая внутренняя доходность будет находиться между ?

и ?

, т. е. у ? (?

, ?

). Промежуток (?

, ?

) разделим на 10 равных частей. И, вычисляя значение функции Р(у) в точках деления, найдем числа ?

и ?

так, чтобы:

Тогда у ? (?

, ?

). Повторяя данную процедуру несколько раз, можно найти достаточно малый промежуток (?

, ?

), на котором находится искомая внутренняя доходность.