Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин ? и ? может быть задан следующим образом:

P

 – это вероятность того, что случайная величина ? принимает значение X

, а случайная величина ? – значение Y

, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем

Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как

Дискретные случайные величины ? и ? называются независимыми, если

Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:

Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ? и ? определяется равенством

Свойства ковариации

Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ? и ? определяется следующим образом:

Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.

Свойства корреляции

Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин ? и ? приведено в таблице:

Распределение вероятностей случайных величин ?,? и ?? имеет следующий вид:

Ковариация и корреляция между случайными величинами ? и ? находятся следующим образом:

1.

Случайная величина ? называется [абсолютно] непрерывной (continuous random variable), если существует неотрицательная функция p

(x), такая, что

где F

(x) – функция распределения вероятностей случайной величины ?.

Функция p

(x), удовлетворяющая условию (1.50), называется плотностью распределения вероятностей (probability density function – PDF) случайной величины ?.

Равенство (1.50) означает, что заштрихованная площадь на рис. 1.18 под графиком плотности распределения равна вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше х.

Свойства непрерывных случайных величин

1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение между х

и x

(x

< x

), совпадает с заштрихованной площадью на рис. 1.19.

2. Если p

(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины, то

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина ? принимает то или иное значение, всегда равна нулю, т. е. P{? = x} = 0.

4.