Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Свойства унимодальных распределений

Если даны две случайные величины ?

и ?

, то можно рассмотреть двумерную случайную величину

Функция P?(x

, x

), удовлетворяющая равенству (1.54), называется плотностью совместного распределения случайных величин ?

и ?

.

Все основные свойства числовых характеристик, рассмотренные нами для дискретных случайных величин, сохраняются и в непрерывном случае.

1.22. Важнейшие виды распределений случайных величин

1.

22.1. Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина ? имеет биномиальное распределение (binomial distribution) B(n, р), если она принимает значения: 0, 1, 2, …, n, причем

Свойства биноминального распределения

Пример 1.52. Рассмотрим портфель из 20 облигаций, выпущенных различными эмитентами с одним и тем же кредитным рейтингом. Предположим, что дефолты по облигациям независимы, а вероятность дефолта по любой облигации в течение одного года равна 10 %.

Обозначим через ? число дефолтов по данному портфелю в течение одного года. Случайная величина ? имеет биномиальное распределение B(20, 0,1), следовательно, ожидаемое число дефолтов по портфелю облигаций в течение одного года составит:

Вероятность того, что в течение года произойдет два дефолта, находится следующим образом:

Вероятность, что в течение года произойдет 5 дефолтов, составит величину:

1.

22.2. Распределение Пуассона

Случайная величина ?, принимающая значения 0, 1, 2, …, k, …, имеет распределение Пуассона (Poisson's distribution) с параметром ? > 0, если

Свойства распределения Пуассона

Пример 1.53. Число дефолтов по портфелю облигаций в течение одного года имеет распределение Пуассона. Ожидаемое число дефолтов равно 8.

Вероятность того, что в течение года произойдет ровно два дефолта, можно найти по следующей формуле:

1.

22.3. Нормальное распределение

Говорят, что случайная величина ? распределена нормально (normal distribution), если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

График плотности нормального распределения приведен на рис. 1.24.

Основные свойства нормального распределения

1. Если случайная величина ? распределена нормально с плотностью

2.