Как не ошибаться. Сила математического мышления

Однако колеса необходимо строить, а силосные башни заполнять[59 - В действительности силосные башни не были круглыми до начала ХХ века, когда профессор Висконсинского университета Хорас У. Кинг не придумал – чтобы решить проблему порчи продукции, лежащей в углах башни, – цилиндрическую конструкцию, широко распространенную в наше время.], а значит, такие измерения должны быть выполнены.

Первоначальную идею предложил Евдокс Книдский, а Евклид включил ее в 12-ю книгу «Начал». Однако именно Архимед довел их дело до конца.

В наши дни мы называем этот подход методом исчерпывания. А начинается он вот с чего.

Изображенный на этом рисунке квадрат называется «вписанный квадрат»: каждый его угол только касается окружности, но не выходит за ее границы. Зачем это делать? Потому что круг – нечто загадочное и пугающее, тогда как с квадратом все просто и ясно. Если у вас есть квадрат, длина стороны которого равна Х, его площадь равна Х умножить на Х – именно поэтому мы и называем умножение числа на самого себя возведением в квадрат! Основное правило математической жизни гласит: если мироздание ставит перед вами сложную задачу, попытайтесь решить вместо нее более простую – с расчетом на то, что упрощенный вариант окажется настолько близким к первоначальной версии, что мироздание не станет возражать против такого решения.

Вписанный квадрат можно разбить на четыре треугольника, каждый из которых представляет собой не что иное, как равнобедренный прямоугольный треугольник, который мы только что нарисовали[60 - Точнее говоря, каждый из этих четырех фрагментов можно получить из исходного равнобедренного прямоугольного треугольника, вращая его по кругу на плоскости.

Давайте примем без доказательств тот факт, что такие манипуляции не меняют площадь фигуры.]. Следовательно, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника. Треугольник в свою очередь – это то, что получится, если взять квадрат 1 ? 1 и разрезать его пополам, как бутерброд с тунцом.

Площадь такого бутерброда равна 1 ? 1 = 1, значит, площадь каждого треугольника равна 1/2, а площадь вписанного квадрата составляет четыре раза по 1/2, то есть 2.

Кстати, предположим вы не знакомы с теоремой Пифагора. Так вот, на всякий случай сообщаю: вы ее все-таки знаете! Или как минимум знаете, что она должна гласить применительно к данному прямоугольному треугольнику.