Как не ошибаться. Сила математического мышления

В обычном понимании «близости» это не так, однако при использовании понятия 2-адической близости ситуация обстоит совсем иначе. Разность между числами 31 и ?1 равна 32, что составляет достаточно малое 2-адическое число 2

. Просуммируйте еще несколько членов этого ряда – и получите число 511, которое отличается от ?1 на 512, еще меньшую величину (в 2-адическом смысле). Большая часть математики, которую вы знаете (анализ, логарифмы и экспоненциальные функции, геометрия), имеет аналог в мире 2-адических чисел (а также аналог в мире p-адических чисел для любого p).

Взаимодействие между всеми этими концепциями близости являет собой отдельную историю – умопомрачительную и недосягаемо прекрасную.] В то, что прибавление все больших и больших чисел до бесконечности приведет вас в область отрицательных чисел?

А вот еще более бредовая идея. Чему равно значение бесконечной суммы:

1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …?

Кто-то может сразу же сделать вывод, что эта сумма составляет:

(1 ? 1) + (1 ? 1) + (1 ? 1) + … = 0 + 0 + 0 + …,

и заявит при этом, что сумма множества нолей, пусть и бесконечно большого, должна быть равной 0.

С другой стороны, 1 ? 1 + 1 – это то же самое, что 1 ? (1 ? 1), поскольку отрицательное значение отрицательного числа – число положительное. Многократное применение этой операции позволяет нам переписать нашу сумму в таком виде:

1 ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? … = 1 ? 0 ? 0 ? 0 ? …

Данный результат точно так же требует вывода, что данная сумма равна 1!

Так чему же равна эта сумма, 0 или 1? Или она в половине случаев равна 0 и еще в половине случаев – 1? Создается впечатление, что это зависит от того, где вы остановитесь, но ведь бесконечные суммы никогда не останавливаются!

Не делайте пока никаких выводов, потому что на самом деле все еще сложнее.

Предположим, наша загадочная сумма имеет значение T:

T = 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …

Умножение на ?1 обеих сторон этого уравнения дает следующий результат:

?T = ?1 + 1 ? 1 + 1 ? …

Однако сумма с правой стороны уравнения – это именно то, что вы получите, если возьмете исходную сумму, равную Т, и удалите из нее первую 1, то есть вычтете 1 из этой суммы.

Другими словами:

?T = ?1 + 1 ? 1 + 1 ? … = T ? 1.

Таким образом, ?T = T – 1 – уравнение с участием Т, которое выполняется только в случае, если Т равно 1/2.