Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Нужно ли сделать решительный шаг и сказать, что круг – это действительно многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон? Нет. Мы не должны поддаваться искушению и так поступать, поскольку это означает впасть в грех актуальной бесконечности. Это обрекло бы нас на логический ад.

Чтобы понять, почему, предположим, что мы на миг подумали, будто круг – на самом деле многоугольник с бесконечным числом углов и бесконечно малыми сторонами. Какова длина этих сторон? Если она равна 0, то общая длина всех сторон – бесконечность, умноженная на 0, – должна давать длину окружности.

Но представьте окружность вдвое большего размера. Точно так же ее длина должна равняться бесконечности, умноженной на 0. Получается, бесконечность, умноженная на 0, должна равняться и длине нашей окружности, и вдвое большему числу. Что за ерунда? Не существует разумного способа определить результат умножения бесконечности на ноль, а потому нет разумного способа рассматривать круг как правильный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Тем не менее в таком интуитивном представлении есть нечто искушающее. Подобно библейскому первородному греху, по той же причине трудно сопротивляться и первородному греху анализа – соблазну считать, что круг – это правильный многоугольник с бесконечным числом сторон. Он соблазняет нас запретным знанием, идеями, недоступными для обычных средств. На протяжении тысячелетий геометры пытались вычислить длину окружности. Если бы круг можно было заменить многоугольником со множеством крохотных прямых сторон, задача была бы гораздо проще.

Прислушиваясь к шипению этого змея-искусителя – но все же сдерживаясь, используя потенциальную бесконечность вместо более заманчивой актуальной, – математики научились решать задачу о длине окружности и другие загадки кривых. В следующих главах мы узнаем, как им это удалось, а пока попробуем еще глубже понять, насколько опасной может быть актуальная бесконечность. Этот грех ведет ко многим другим, включая тот, о котором учителя предупреждали нас в первую очередь.

Грех деления на ноль

Во всем мире школьников учат, что делить на ноль нельзя. Должно быть, они шокированы существованием такого табу. Предполагается, что числа дисциплинированны и хорошо себя ведут. Урок математики – место для логики и рассуждений. И все же можно задавать о числах простые вопросы, на которые нет ответов, или пытаться сделать с ними простые вещи, которые не работают или не имеют смысла.