Открытие формулы Дейкстры-Прима. Решение задач на графе

 ? (x) – вес кратчайшего пути от начальной вершины до вершины x или вес минимального остовного дерева, содержащего вершину x. Этот компонент отображает полный вес пути от начальной вершины до вершины x, проходящего через другие вершины. Алгоритм Дейкстры позволяет находить кратчайшие пути от начальной вершины до всех остальных вершин в графе, и ? (x) представляет вес кратчайшего пути до конкретной вершины x.

2. ? (y) – вес кратчайшего пути от вершины y до конечной вершины или вес минимального остовного дерева, содержащего вершину y.

Аналогично ? (x), ? (y) отражает полный вес пути от вершины y до конечной вершины, проходящего через другие вершины. Здесь алгоритм Дейкстры также может быть использован для нахождения кратчайших путей от всех вершин до конечной вершины, и ? (y) представляет вес кратчайшего пути от конкретной вершины y.

3. m (x, y) – вес ребра, соединяющего вершины x и y. Это просто числовое значение, которое указывает на стоимость перемещения от вершины x к вершине y в графе.

Оно может быть задано, например, как длина ребра или стоимость перехода между вершинами.

В формуле D (x, y) = ? (x) + ? (y) – m (x, y) эти компоненты объединяются для определения длины кратчайшего пути между вершинами x и y или минимальной стоимости остовного дерева. Путем вычисления ? (x), ? (y) и m (x, y) мы можем получить информацию о весе пути и весе ребра между вершинами x и y, и затем подставить эти значения в формулу для получения итогового результата.

Уникальность формулы и ее связь с алгоритмами Дейкстры и Прима

Формула D (x, y) = ? (x) + ? (y) – m (x, y) является уникальной тем, что объединяет в себе идеи двух классических алгоритмов – алгоритма Дейкстры для поиска кратчайшего пути и алгоритма Прима для построения минимального остовного дерева на графе.

Алгоритм Дейкстры широко применяется для нахождения кратчайшего пути во взвешенном графе. Он начинает с выбора начальной вершины и постепенно строит пути к другим вершинам, находя минимальные расстояния до каждой из них.

Целью алгоритма Дейкстры является нахождение кратчайшей длины пути от начальной вершины до всех остальных вершин в графе.

Алгоритм Прима, с другой стороны, используется для построения минимального остовного дерева на связном графе. Он начинает с выбора начальной вершины и постепенно добавляет ребра к дереву таким образом, чтобы образовывалось минимальное остовное дерево.