Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Конкретное разностное уравнение, обсуждаемое в этом разделе, иногда называют экспоненциальной или геометрической моделью, поскольку модель приводит к экспоненциальному росту и ассоциируется с именем Томаса Мальтуса. Математики, однако, склонны сосредотачиваться на форме уравнения

 и говорить, что модель линейна. Такая терминология может сбивать с толку, но она важна, когда линейная модель описывает экспоненциальный рост или убывание.

Задачи для самостоятельного решения:

1.1.1. Популяция изначально составляла 100 особей, но из-за комбинированного воздействия рождений и смертей она утраивается каждый час.

а. Составьте таблицу численности популяции для

 пробегающего значения от 0 до 5, где

 измеряется в часах.

б. Приведите два уравнения, моделирующих рост популяции, сначала путем выражения

 через

, а затем выразив

 через

.

в. Что можно сказать об уровнях рождаемости и смертности среди населения вашей страны? Земного шара?

1.1.2. На ранних стадиях развития в развивающихся странах открытие новых школ происходит с достаточно регулярной скоростью.

Предположим, что количество школ удваивается примерно каждый месяц.

а. Запишите уравнение, моделирующее эту ситуацию. Уточнив, сколько реального времени представлено шагом 1 в параметре

 и каково было начальное количество школ в период новейшей истории.

б. Заполните таблицу и нарисуйте график числа школ в зависимости от

.

в. Сопоставьте полученные результаты с официальными данными Росстата.

Это соответствует вашей модели? Какие выводы и/или вопросы это вызывает?

1.1.3. С помощью ручного калькулятора составьте таблицу значений численности населения выбирая

 в диапазоне от 0 до 6 для следующих моделей. Затем отобразите табличные значения на графике.

а.

,

б.

,

в.

,

1.1.4. Повторите решение задачи 1.1.3(а) с помощью MATLAB, введя последовательность команд, например:

p=1

x=p

p=1.3*p

x=[x p]

p=1.

3*p

x=[x p]

…

Возврат к предыдущим командам для их повторения можно осуществлять нажатием клавиши "?". Объясните, как это работает. Теперь повторите решение с использованием цикла, например:

p=1

x=1

for i=1:10

p=1.3*p

x=[x p]

end

Отступ не является обязательным, но помогает сделать цикл for-end понятнее для чтения. Объясните, как это работает. Визуализируйте полученные данные на графике с помощью команды:

plot([0:10],x)

1.1.5.