Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

2 показывает сигмовидную картину, которая часто появляется в данных тщательно контролируемых лабораторных экспериментов, в которых популяции увеличиваются в ограниченной среде. График показывает значения популяции, связанные сегментами линий, чтобы сделать шаблон более ясным, хотя дискретные временные шаги нашей модели действительно дают популяции только в целочисленное время. Таким образом, с интуитивной точки зрения мы добились определенного прогресса; у нас есть более реалистичная модель для описания роста населения или численности выпускников физико-математических специальностей.

Рисунок 1.2. Популяционные значения из нелинейной модели.

Однако с математической точки зрения не всё так хорошо. В отличие от линейной модели, нет очевидной формулы для

, которая возникала бы из составленной таблицы. На самом деле, единственный способ получить значение

, по-видимому, заключается в создании таблицы с сотней записей в ней. Утратилась легкость, с которой можно было бы предсказывать будущие значения популяции.

Это то, с чем приходится мириться: хотя нелинейные модели более реалистичны, зачастую не представляется возможным получение явных формул для решения нелинейных дифференциальных уравнениях. Вместо этого используются графические методы и численные эксперименты для того, чтобы получить общее представление о поведении модели.

Первый из таких методов называется «Паутина». Паутина является основным графическим методом для понимания математической модели дискретного логистического уравнения.

Рассмотрим еще раз модель

,

. Начнём с построения графика параболы, определенной уравнением, выражающим

 через

, а также диагональной линии

, как показано на рисунке 1.3. Так как популяция начинается с

, отмечаем это значение на горизонтальной оси графика. Теперь, чтобы найти

, просто двигаемся вертикально вверх по графику параболы, чтобы найти точку

, как показано на рисунке.

Далее хотелось бы найти

, но для этого нужно отметить

 на горизонтальной оси. Самый простой способ сделать это – двигаться горизонтально от точки

 до диагональной линии. Когда достигнем диагональной линии, окажемся в

, так как сохранили ту же вторую координату, но изменили первую координату. Теперь, чтобы найти

, просто двигаемся вертикально назад к параболе, чтобы найти точку

.