Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Простая модель представляет социальную группу программистов как единый пул с концентрацией незаурядных умов

, а группу профессиональных математиков как смежный отдел с концентрацией умов

. Если для простоты предположить, что оба интеллектуальных пула имеют единичный объем, то в течение фиксированного промежутка времени на одной итерации найма новых сотрудников общее количество сотрудников

 окажется неизменным. Если представить себе очень маленький фиксированный интервал времени, то увеличение

 за этот временной интервал будет пропорционально разности между

 и

.

То есть

. Этот экспериментальный факт иногда называют законом Фика.

а. В каком диапазоне должен быть параметр

, чтобы эта модель имела смысл?

б. Используя тот факт, что

, формализуйте модель так, оставив лишь два параметра,

 и

, чтобы выразить

 через

.

в. Для

,

, и различных вариантов значений

, исследуйте модель с помощью программы onepop.m для MATLAB из задачи 1.

2.4. Как изменится поведение модели, если использовать другое значение

?

г. Алгебраическим путём найдите точку равновесия

 (выразив её через

 и

) для этой модели. Согласуется ли это с тем, что вы видели в части (в)? Можете ли объяснить результат интуитивно?

д. Пусть

. Перепишите модель в виде зависимости от

, отклонения значений от точки равновесия, путем подстановки в

 и дальнейшего упрощения полученного выражения.

е. Используйте часть (д), чтобы найти формулу для

 , а затем для

.

Убедитесь в том, что формула дает те же результаты, что и машинный эксперимент в onepop.m.

ж. Можно ли модифицировать модель так, чтобы описывалась диффузия между двумя отсеками разных размеров?

Проектные работы:

1. Предположим, что численность выпускников математических факультетов, трудоустраивающихся по специальности, имеет динамику, хорошо моделируемую дискретным разностным уравнением

.

Конечно, динамика этой численности всегда будет зависеть от значения

, но, выбрав соответствующие единицы измерения, можно зафиксировать

.

Исследуйте влияние регулярного сокращения таких сотрудников при двух различных типах предположений.

а.

, где

 – некоторое фиксированное число сотрудников, сокращаемых на каждом этапе времени, например, ежегодно.

б.

, где

 – некоторый фиксированный процент сотрудников, сокращаемых на каждом временном этапе (

).