Математика шахматной доски

Разрезания шахматной доски на полимино

Достаточно естественным образом встаёт вопрос: из каких полимино можно составить доску? Чаще всего задача формулируется в другую сторону: на какие полимино можно разрезать всю доску (без остатка)? При этом слово «разрезать» здесь не следует трактовать буквально (хотя в моей практике был школьник, который именно так и поступал: брал бумажный квадрат 8?8 и резал его на заявленные части – однако даже к нему быстро пришло понимание, что результат такой работы будет практически невозможно продемонстрировать педагогу).

Ясно, что на мономино шахматная доска разбивается достаточно легко. Не вызывает особенных проблем и её разбиение на домино.

Рисунок 4. Разбиение на мономино

Рисунок 5. Разбиение на домино

Попытка разбить на прямые тримино приводит к тому, что остаётся одна клетка, не входящая ни в одну фигурку. Младшие школьники обычно либо в растерянности (им в принципе непривычно, что на вопрос «можно ли» бывает отрицательный ответ), либо говорят, что разрезать невозможно, потому что у них осталась одна лишняя клетка.

Школьник постарше, знакомый с понятием делимости, сразу формулирует это иначе: доску нельзя разрезать на тримино (хоть на прямые, хоть на угловые), потому что её площадь не делится на 3 (не делится без остатка, как принято называть это явление в школе[2 - По поводу понятия делимости смотрите Приложение 3.]). Интересно, что на резонный вопрос «А почему она должна делиться?» некоторые из них ответить не могут, то есть это наблюдение настолько интуитивно очевидное, что далеко не всегда ребёнок задумывается над его причинами.

Итак, если шахматную доску (а, вообще говоря, любую клетчатую фигуру с целой площадью) можно разбить на полимино определённого вида (а, вообще говоря, на любые фигуры с целой площадью), то и площадь доски (большей фигуры) обязательно должна делиться на площадь этого полимино (меньшей фигуры). Более того, частное при этом делении равно количеству фигурок, получающихся при разрезании (это наблюдение пригодится нам в дальнейшем).

Условие делимости площадей является необходимым, то есть если площадь доски не делится на площадь маленьких фигурок, то разрезать точно не удастся. Обратное неверно!

Но для тримино всё работает идеально в нужную сторону: площадь шахматной доски (64 клетки) не делится на площадь тримино (3 клетки), поэтому её невозможно разрезать ни на прямые, ни на угловые тримино.