Математическая стодневка. Сто задач до нового года

В формулировках задач преимущественно встречается два оборота «число предстоящего года» и «число наступающего года», но ничто не мешает при необходимости заменить их на «число текущего года».

    Сентябрь, 2021

ЗАДАЧА 1

(23 сентября)

Если предновогодняя стодневка начинается в понедельник, то в какой день недели наступит новый год?

На календарь не смотреть!

Задача, безусловно, имеет ещё шесть вариаций: вместо понедельника можно взять любой день недели.

ЗАДАЧА 2

(24 сентября)

Некоторые виды натуральных чисел можно определить просто по их «внешнему виду».

Является ли число предстоящего года палиндромом?

ЗАДАЧА 3

(25 сентября)

Является ли число предстоящего года репдигитом?

Это тоже можно определить непосредственно по записи числа.

ЗАДАЧА 4

(26 сентября)

Число года натуральное. Но натуральные числа бывают разными. Какова чётность числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 5

(27 сентября)

1.

Если число предстоящего года нечётное, то является оно простым или составным?

2. Если число предстоящего года чётное, то оно очевидно составное. Однако, если число равно произведению двух простых чисел, то оно называется полупростым. Является ли число предстоящего года полупростым?

Кстати, нечётное число также может быть полупростым, так ли это для числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 6

(28 сентября)

Простое число, не являющееся палиндромом, называет бипростым, если при записи его цифр в обратном порядке также получается простое число.

Является ли число предстоящего года бипростым?

ЗАДАЧА 7

(29 сентября)

Несколько предыдущих задач было связано со свойствами делимости. Найдите все возможные делители числа предстоящего года. Сколько их?

ЗАДАЧА 8

(30 сентября)

Число называется продолговатым, если оно представимо в виде произведения двух натуральных множителей, больших единицы.

Геометрическая интерпретация: площадь прямоугольника со сторонами, целочисленные длины которых больше 1.

Будет ли число предстоящего года продолговатым?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли постое число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть простым?

3. Всегда ли составное число будет продолговатым?

4.