Квадратные уравнения. Часть 1

Автор благодарит своих выпускниц математического факультета Пермского государственного педагогического университета Марию Волкову (2002 г.), Ольгу Крысову (2003 г.) и Инессу Баранову (2008 г.), фрагменты чьих курсовых и выпускных исследований вошли в эту книгу.

Благодарю всех, кому идея создания подобного рода книг созвучна и тех, кто, ознакомившись с книгой, не найдёт её целесообразной.

РАЗДЕЛ I.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СТРУКТУРА И ЭЛЕМЕНТЫ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

§1. Мысли с потолка, ведущие к идее,

или Откуда что взялось?

…Забавное число – ноль.

На что ни умножь – само же в результате и получается! Прямо загляденье:

0 ? 0 = 0 ? 1 = 0 ? 2 = 0 ? 10 = … = 0, т.е. 0 ? a = 0 ? 0

Однако, интересно, а будет ли выполняться равенство 0 ? a = 0

, если вместо нуля поставить произвольное число? Например, какое удвоенное число равно своему квадрату, то есть x ? 2 = x

? Или утроенное x ? 3 = x

?

Поставим задачу в общем виде: найти число, квадрат которого, равен произведению этого числа на конкретное данное число a.

Построим модель: xx = ax или x

 = ax.

Так как мы ищем число, отличное от нуля, то, разделив обе части построенного равенства на x, получим, что x = a.

То есть, если удвоенное число равно своему квадрату, то это число 2, а если утроенное, то 3.

Можно этот факт запомнить – вдруг пригодится?..

***

…Инструктаж судьи на одном из этапов туристической эстафеты:

– Вам необходимо огородить участок прямоугольной формы, площадью 1 ар для стоянки.

Дополнительные очки той команде, которая затратит как можно меньше страховочной верёвки. На старт, внимание, начали!

1 ар – это 100 квадратных метров. Участок может иметь размеры 20 ? 5 или 25 ? 4. Но наша команда знает, что наименьший периметр прямоугольника при его заданной площади будет в том случае, если он – квадрат (теперь и вы это помните!). Отлично! Значит необходимо найти сторону квадрата, если его площадь равна 100.

Ну, это легко! Ещё с младших классов, благодаря большой вычислительной практике, помним, что число 10 умноженное на себя даёт сто.

Хорошо, что мы не на уроке математики, а то пришлось бы составлять уравнение x

 = 100…

***

…Не так давно с нами эксперимент проводили: надо было из множества прямоугольников разнообразной формы выбрать один, который покажется самым приятным на вид.