Квадратные уравнения. Часть 1

Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x. Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.

Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры – дело десятое.

Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой – сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое – произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье – произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.

Тогда квадратными будут уравнения:

mx

 + nx + k = 0 (относительно x, m ? 0),

xa

 + ya + z = 0 (относительно a, x ? 0).

Уравнение y

 + xy + x

= 0 можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x, либо только относительно y.

Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.

Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением.

(Любое ли равенство является уравнением – разговор особый и не в рамках этой книги.)

Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.

Возникает первый вопрос: обязательно трёх?

Другими словами количество слагаемых – это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.

Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого).

Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида

ax

+ bx = 0 (c = 0, ab ? 0),

ax

+ c = 0 (b = 0, ac ? 0),

ax

= 0 (b = c = 0,a ? 0).

Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!

Тем не менее, это – квадратные уравнения, потому что их можно записать так

ax

+ bx +0 = 0,

ax

+0 · x + c = 0,

ax

+0 · x +0 = 0.