Образовательные процессы и ресурсы высшей школы в области радиоэлектроники

Всякая общезначимая формула доказуема (теорема о полноте К. Гёделя).

Но наряду с «положительными» существует также целый ряд ограничительных теорем первопорядковой логики предикатов.

При некоторых довольно слабых условиях, налагаемых на теорию Т, свойство быть истинной формулой теории Т не выразимо в Т (теорема А. Тарского).

Далеко не очевидно содержание теоремы К. Гёделя о неполноте. Если все формулы теории Т общезначимы, то она неполна, то есть существует такая формула А, что ни А, ни не – А не доказуемы в Т.

Еще одна ограничительная формула гласит: исчисление предикатов не является синтаксически полным, то есть к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой.

Далее. Логика предикатов не является категоричной (теорема Л. Левенгейма и Т. Сколема), то есть ее модели могут быть неизоморфными.

Теорема А. Чёрча: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы логики предикатов решить вопрос, является ли она доказуемой в данной теории.

Наличие как ограничительных, так и не ограничительных теорем логики предикатов резко усложняет вопрос с оценкой ее статуса. На первый взгляд, кажется, что ограничительные теоремы являются «плохими», а не ограничительные «хорошими». Такое мнение поверхностное. Во-первых, мы вообще не в состоянии правильно оценить статус логики предикатов без указания ее ограничительных теорем. Во-вторых, ограничительные теоремы не лишены явных достоинств.

Так, в прикладной логике очень часто используется неполнота синтаксиса первопорядковой логики: к логическим аксиомам присоединяются нелогические постулаты, не нарушающие синтаксическую непротиворечивость теории. Наличие неполноты синтаксиса логики обеспечивает поле возможностей для перехода от чистой логики к прикладной логике.

Главное достоинство теорем логики, причем как неограничительных, так и ограничительных, состоит в том, что они обрисовывают статус логического языка таким, каким он является: продуктивным в науке и, следовательно, во всей человеческой культуре.

Мы должны (иного не дано) в полной мере осознать статус и возможности логического языка.

История логики предикатов первого порядка свидетельствует о том, что идеалы логики не могут быть заданы произвольно. Это, во-первых. Во-вторых, они должны постоянно совершенствоваться.

Наиболее тесно логика связана с семиотикой, лингвистикой, математикой и информатикой.