Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Сформулируем начальное условие: в момент времени t = 0 количество людей в здании равнялось N

.

Составляем главную пропорцию задачи (см. введение, последний абзац). Делается это следующим образом. Из общих соображений можно предположить, что число людей, вышедших из здания за некоторый промежуток времени, пропорционально самому промежутку времени и количеству людей, находящихся в здании:

dN ~ dt, N.

Заменяя знак пропорции на коэффициент пропорциональности А, получим

dN = —ANdt,

или

Эволюционное уравнение данной задачи (сравните с (1)).

Появление минуса объясняется тем, что с увеличением t уменьшается N (dN < 0).

Данное уравнение представляет собой известное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Поступаем согласно методу решения, описанному в разделе П1.2 Приложения. Сначала разделяем переменные по разные стороны уравнения, затем полученное выражение интегрируем:

где C – постоянная интегрирования. Выраз

им N:

(2)

Постоянную C определим из начального условия. В нашей модели начальное условие будет выглядеть следующим образом (см. в Приложении формулу (П.1)):

N?

= N

.

В соответствии с этим условием мы в (2) подставим t = 0 и N

вместо N:

N

= Ce

= Ce

= C.

Следовательно, C = N

. Тогда (2) примет окончательный вид

N = N

e

.

Итак, мы получили закон, показывающий, как с течением времени уменьшается количество людей в здании. Здесь

постоянная А характеризует архитектурные особенности здания: количество этажей, количество выходов и т. п.

Как видим, поведение людей, покидающих в экстремальной ситуации здание, будет таким, чтобы совместными действиями реализовать закон экспоненциального уменьшения числа людей в здании.

Нетрудно заметить, что данный закон по своему математическому виду совпадает с известным в физике законом радиоактивного распада:

N = N

e

; N – число нераспавшихся атомов,

что наглядно демонстрирует универсальность системного подхода к явлениям в природе и обществе.

1.2. Модель воздействия рекламы на количество покупаемого товара

(Изложение данного раздела следует работам [23, 28].) Как и в предыдущем разделе, мы воспользуемся методом составления главных пропорций.

Пусть за время dt приобретается dy товара (y – количество некоторого товара).