Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10—3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8—3=5 человек, а немецким и французским 5—3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части рисунка 2.2.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним, из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек.

Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским – 30 человек (см. рис.2.3).

Рис.2.3.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

1.3. Размещения без повторений

Пример 3. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m?n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество А, содержащее m элементов из m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

(2.

1)

n! – n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n. n!=1*2*3*…*n. 0!=1.

Значит, ответ на выше поставленную задачу будет

1.4. Перестановки без повторений

В случае n=m (см. размещения без повторений) А из n элементов по m называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают P

P

=n!

Действительно при n=m:

(2.2)

Пример 4.

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P

=6!=720

Пример 5. «Проказница Мартышка, Осел, Козел, Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет …Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, – погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите…

И так, и э так пересаживались – опять музыка на лад не идет.