Пособие для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового уровня в 2024 году

Также для удобства составим таблицу, которая будет демонстрировать зависимость коэффициента k от угла наклона прямой:

Производная функции

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует

Геометрический смысл производной функции

Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на некоторые вопросы при исследовании функции.

Значение производной функции y = f(x) в точке x

равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x

:

f

(x) = k.

Если производная функции y = f(x) в точке x

равна нулю, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке с абсциссой x

, параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg ?, то

f

(x

) = tg ?.

Исследование функции

Промежутки монотонности функции (промежутки возрастания и убывания функции)

Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x

и x

из этого интервала таких, что x

< x

, справедливо неравенство f(x

) < f(x

).

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x

и x

из этого интервала таких, что x

< x

, справедливо неравенство f(x

) > f(x

).

Точки экстремума (точки максимума и минимума функции)

Точка x

области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(x

). Значение y

= f(x

) называется максимумом этой функции.

Точка x

области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) > f(x

). Значение y

= f

) называется минимумом этой функции.

7.2. Примеры заданий и методика их выполнения

Пример 1 [4]

Условие

На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x = 1.