Математические основы живописи и архитектуры

Как следствие многочисленных применений золотого сечения в геометрии и искусстве в эпоху Возрождения появилась книга «Божественная пропорция», а сам термин был введен Леонардо да Винчи в XV веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современного искусства и искусства древних времен.

§ 1. Математическое изобразительное искусство

В математическом изобразительном искусстве наиболее часто используют многогранники, тесселяции, ленты Мебиуса, невозможные фигуры, фракталы и искаженные перспективы.

Отдельные работы могут включать в себя одновременно несколько перечисленных фигур и объектов.

Многогранник – это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона, или Платоновы тела (рис. 1).

Рис. 1. Платоновы тела: а – тетраэдр; б – куб; в – октаэдр; г – икосаэдр; д – додекаэдр

Существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника и у которых все вершины одинаковы.

Они известны как тела Архимеда (рис. 2).

Рис. 2. Архимедовы тела: а – усеченный тетраэдр; б – кубооктаэдр; в – усеченный куб; г – усеченный икосаэдр; д – усеченный додекаэдр; е – усеченный кубооктаэдр; ж – усеченный октаэдр; з – усеченный икосододекаэдр; и – ромбокубооктаэдр; к – дважды усеченный куб (курносый куб); л – икосододекаэдр; м – ромбоикосододекаэдр; н – дважды усеченный додекаэдр (курносый додекаэдр)

Кроме этого, существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников.

Антипризма – полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) – равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) – правильные треугольники (рис. 3).