Теорема века. Мир с точки зрения математики

Однако нельзя сказать, что первый ряд фактов может составить опыт, доказывающий, что пространство является евклидовым, а второй – опыт, доказывающий, что пространство неевклидово.

В самом деле, можно было бы представить себе тела, движущиеся таким образом, что они осуществляют второй ряд фактов. Доказательством служит то, что любой механик мог бы их построить, если бы он захотел взять на себя этот труд и если бы придавал этому значение. Однако из этого вы не заключили бы, что пространство неевклидово, тем более что обыкновенные твердые тела продолжали бы существовать и тогда, когда механик построил бы странные тела, упомянутые мною: так что пришлось бы даже заключить, что пространство является одновременно евклидовым и неевклидовым.

Предположим, например, что мы имеем большую сферу радиуса R и что температура убывает от центра к поверхности этой сферы по закону, о котором я говорил, описывая неевклидов мир.

Мы могли бы иметь тела, расширением которых можно было бы пренебречь и которые вели бы себя как обыкновенные неизменяемые твердые тела; с другой стороны, мы могли бы иметь тела очень растяжимые, которые вели бы себя как неевклидовы твердые тела.

Мы могли бы иметь две двойные пирамиды OABCDEFGH и O’A’B’C’D’E’F’G’H’ и два треугольника ??? и ?’?’?’. Первая двойная пирамида была бы прямолинейной, вторая – криволинейной; треугольник ??? был бы сделан из нерастяжимого, а треугольник ?’?’?’ – из очень растяжимого вещества.

Тогда можно было бы обнаружить первый ряд фактов с двойной пирамидой ОАН и треугольником ??? и второй – с двойной пирамидой О’А’Н’ и треугольником ?’?’?’.

И тогда опыт, по-видимому, убеждал бы сначала, что евклидова геометрия истинна, а затем – что она ложна.

Таким образом, опыты относятся не к пространству, а к телам.

8. Добавление. Для полноты мне следовало бы еще сказать о вопросе очень тонком, который потребовал бы подробного развития; я ограничусь здесь только резюмированием того, что я изложил в «Revue de Mеtaphysique et de Morale» и в «The Monist».

Что мы хотим сказать, когда говорим, что пространство имеет три измерения?

Мы видели важность тех «внутренних изменений», которые нам открываются нашими мускульными ощущениями. Они могут служить для характеристики различных положений нашего тела. Возьмем за начальное одно из этих положений А. Когда мы переходим от этого начального положения к какому-нибудь другому положению В, мы испытываем ряд мускульных ощущений S, и этим рядом S определится В.