Правила счета элементов бесконечного множества

Рассмотрим приведённый выше пример в терминах мощностей. Примем без доказательства, что количество членов множества и его мощность – это разные, но схожие по смыслу понятия. Мы не можем сравнивать число членов множеств, по определению равных бесконечности, но мы можем сравнивать их мощности. Отношение мощностей М

и М

равномощных множеств всегда равно конечному числу:

В этом случае отношение множеств (1) для четных чисел запишется в виде:

Запишем также и отношение множеств для нечетных чисел:

Далее нам понадобится и такое тождественное отношение:

Это равенство очевидно, поскольку числитель равен знаменателю.

Теперь просуммируем эти приведенные два отношения мощностей:

Очевидно, что последняя дробь содержит в числителе все целые натуральные числа:

поэтому они и равны тождественно единице.

Это определённо означает, что мощности множеств всех натуральных чисел и суммы множеств всех четных и нечетных чисел равны.

Но это также означает и тождественное равенство их бесконечного количества членов. Очевидно, что множества четных и нечетных чисел равномощны, поэтому, разделив полученное равенство на c

, получим:

Поэтому из равенства также следует, что каждая из мощностей четных и нечётных чисел в два раза «слабее» мощности всех натуральных чисел:

Отметим также без доказательств, что любые действия над каждым членом множества не изменяют мощности множества:

Из этого непосредственно следует, что решающее значение имеет способ, каким получено множество.

Например, множество всех четных чисел может быть получено удалением из множества всех натуральных чисел нечётных или умножением на 2 каждого члена множества всех натуральных чисел:

Казалось бы, последнее выражение является точной копией множества всех четных чисел М(2, 4, 6, 8…). Но это ошибочно, поскольку любые действия над всеми (или отдельными) членами множества не изменяют их полного количества и, соответственно, мощности.

Поэтому справедливо (знак множества M опускаем):

Хотя оба множества в числителях в обеих строках выглядят тождественно, на самом деле это разные множества, имеющие разную мощность.

Перестановки в рядах. Еще один вариант доказательства равномощности части и целого приведен в книге [2, с.