Диалоги об Атлантиде

 – Под двухстепенными (????????) и трехстепенными (?????????) промежутками, о которых говорится далее в тексте, разумеются интервалы двух геометрических прогрессий, входящих в приведенный выше семичлен: потому что если мы возьмем числа этого семичлена через одно, то различим в нем, действительно, при общем первом члене, две отдельные четырехчленные прогрессии (?????????): 1, 2, 4, 8 и 1, 3, 9, 27, которые образуются – первая множителем 2, а вторая множителем 3. Интервалы этих прогрессий и восполняются далее гармоническими тонами.

Это делается так, что между каждыми двумя членами прогрессии вставляются средние пропорциональные величины: арифметическая и так называемая гармоническая. Под именем средней гармонической разумеется такая величина, которая образует разность с двумя другими, большею и меньшею, на пропорционально одинаковые их доли (таково будет число b по отношению к числам a и c, если ab-a = cc-b, так что b = 2aca+c). Средние пропорциональные числа двух первых членов первой прогрессии, 1 и 2, будут: арифметическое – 1?, гармоническое – 1?. Мы видим, что октава 1: 2 делится таким образом на три интервала 1: 1?: 1?: 2, или, в целых числах, 6: 8: 9: 12, причем 6: 9 и 8: 12 сокращаясь в 2: 3, составляют квинты, а 6: 8 и 9: 12, или 3: 4, – кварты, интервал же 8: 9, как разность между квинтами и квартами, образует один тон. В последовательном порядке, получаются: кварта, тон и кварта. Таким же образом интервал первых двух членов второй прогрессии, 1: 3, средними пропорциональными 1? (гармоническою) и 2 (арифметическою) делится на интервалы 1: 1?: 2: 3, или 2: 3: 4: 6, представляющие, в последовательном порядке, квинту, кварту и квинту. Так как эти деления интервала 1: 3 совпадают с арифметическими делениями интервалов 1: 2 и 2: 4, то на них распространяются и гармонические деления этих последних интервалов (1? и 2?), т. е. каждая из квинт интервала 1: 3 делится также на кварту и один тон. Затем интервалы всех кварт остается наполнить интервалами тонов; но те и другие несоизмеримы, так что на каждую кварту приходится не три, а только два полных тона, и образуется остаток (??????), как бы усеченный тон. Из сравнения интервалов кварты 1: 1? и двух полных тонов (1: 117/64) не трудно убедиться, что интервал этого усеченного тона составляет 256: 243.]. Таким образом смесь, от которой он отсекал это, была вся исчерпана.