Криптография. Основы практического шифрования и криптографии

Их использование широко распространено в криптографических системах и процессах шифрования данных. Существует несколько методов для вычисления дискретных логарифмов, некоторые из которых могут быть использованы только в определенных условиях. Некоторые из этих алгоритмов, такие как Шэнкса и Полига-Хеллмана, основаны на методах деления пополам и линейной алгебре соответственно.

Кроме того, дискретные логарифмы являются математической основой для таких криптографических систем, как RSA и Diffie-Hellman.

Они используются для генерации ключей и шифрования данных, что делает их необходимыми для обеспечения безопасности многих современных систем связи.

В целом, дискретные логарифмы играют важную роль в криптографии и математике, и их изучение является необходимым для всех, кто работает в этой области.

Теория чисел

Теория чисел (Number Theory) – это раздел математики, который изучает свойства и взаимоотношения целых чисел. Она является одним из самых старых и фундаментальных разделов математики, который включает в себя такие темы, как простые числа, делимость, арифметические функции, криптография и многое другое.

В этой главе мы рассмотрим основные понятия и концепции теории чисел, а также некоторые ее приложения в криптографии, информатике и других областях науки.

Простые числа

Простым числом называется положительное целое число, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя. Среди первых нескольких простых чисел можно выделить числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.

 д. Теория простых чисел изучает свойства простых чисел, методы их генерации и использует их для решения различных задач.

Делимость

Два целых числа a и b называются делимыми, если существует такое целое число c, что a = b*c. Обозначение a|b означает, что число a делит число b. Свойства делимости включают в себя транзитивность (если a|b и b|c, то a|c), рефлексивность (a|a для любого целого числа a) и симметричность (если a|b, то b|a).

НОД и НОК

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел a и b называется наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка. Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел a и b называется наименьшее положительное целое число, кратное обоим числам. Например, НОД (15, 20) = 5, НОК (15, 20) = 60.

Арифметические функции

Арифметические функции – это функции, определенные на множестве натуральных чисел.