Как не ошибаться. Сила математического мышления

Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьезная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплина превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей.

Иначе говоря, при большом отдалении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» (близкородственного скрещивания. – Ю. Д.) математической дисциплине грозит опасность вырождения.

О какой математике пойдет речь в моей книге?

Если ваше знакомство с математикой ограничивается школьной программой, это означает, что вам известна весьма ограниченная, а в какой-то степени даже ложная версия этого предмета. Школьная математика состоит главным образом из совокупности фактов и правил – фактов, которые нельзя оспаривать, и правил, которые предписаны высшим авторитетом и не подлежат сомнению.

Такой подход рассматривает математические концепции как нечто непреложное.

Но математика не неизменна. Даже если речь идет о базовых объектах изучения, таких как числа и геометрические фигуры, наше незнание гораздо больше знания. А то, что мы все же знаем, получено в результате огромных усилий, разногласий и недоразумений.

Весь этот труд и смятение тщательно завуалированы в ваших учебниках.

Безусловно, факты фактам рознь. Никогда не было особых споров по поводу того, что 1 + 2 = 3. Но можем ли мы действительно доказать, что 1 + 2 = 3, и как это можно сделать, – вопрос, который блуждает где-то между математикой и философией. Однако это совсем другая история, и мы вернемся к ней в конце книги. Правильность вычислений в данном случае не подлежит сомнению. Проблема кроется совсем в другом.

Мы не раз столкнемся с ней на этих страницах.

Математические факты могут быть простыми и сложными, поверхностными и глубокими, что делит математическую вселенную на четыре сектора:

Базовые арифметические факты, такие как 1 + 2 = 3, относятся к категории простых и поверхностных. К этой же категории принадлежат и основные тождества, в частности sin(2x) = 2sin x ? cos x или формула корней квадратного уравнения.