Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

можно записать

A = nch

U ch

;

B = nch

U ch

, (2.5)

где nch

и ch

– подмножества нечетных и четных чисел множества A;

nch

и ch

– подмножества нечетных и четных чисел множества B.

Для указанного выше примера, имеем

nch

= {1, 3, 5, 7, 9} и ch

= {0, 2, 4, 6, 8}.

nch

= {11, 13, 15, 17, 19} и ch

= {12, 14, 16, 18, 20}.

Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nch

| и |ch

| одинаковы, т.е. равны.

Также можно сказать и о подмножествах |nch

| и |ch

|, мощности которых также равны между собой.

Легко видеть, что мощности четных подмножеств |ch

| и |ch

| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nch

| и |nch

| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.

Таким образом, можно записать следующие тождества:

|ch

| = |ch

|;

|nch

| = |nch

|;

|ch

| = |nch

|;

|ch

| = |nch

|; (2.

6)

|ch

| = |nch

|;

|ch

| = |nch

|;

|nch

| = |ch

|;

|nch

| = |ch

|.

Отметим и то, что симметричная пара может состоять либо только из нечетных чисел, либо только из четных чисел, но ни как по-другому, т.е. пара (a

,b

) не может иметь одновременно разную чётность. Этот очевидный факт является очень важным и в дальнейшем будет использован. Чтобы увидеть правильность сказанного, следует внимательно посмотреть на выражения (2.

4), так как в правых их частях стоят четные числа, и, следовательно, суммы левых частей должны быть также четными, что возможно только тогда, когда два слагаемых в левых частях будут одновременно нечетными или четными.

Докажем следующую небольшую лемму.

Лемма 2. Любое четное число может быть однозначно отнесено к натуральному числу вдвое меньшему данного четного числа.

Доказательство. Действительно, так как четное число n выражается формулой ch=2n, то разделив его на двойку, получим утверждаемое натуральное число, что и доказывает высказанное утверждение.

Рассмотренные выше соображения позволяют сформулировать следующее важное утверждение или теорему.

Теорема 1. Любое число n представимо суммой чисел любой симметричной пары, отнесенной к числу 2n, вдвое меньшему данному числу, т.е. равной удвоенному значению числа n, находящемуся на середине отрезка числовой оси [0;2n].

Доказательство.