Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

14)

Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.

a = n – ?; b = n + ?.

Ввиду того, что ? = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.

В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.

2. Исследование множеств симметричных пар

Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,

C = {a

,…a

,…a

,a

, a

, b

, b

, b

,… b

…b

}, (2.

где a

, b

. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).

Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества

A = {a

, a

, a

,…a

} и множества B = {b

, b

, b

,…b

}.

Очевидно C = AUB.

Для нашего примера эти множества будут

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.

Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (a

, b

).

Действительно, имеем a

= n–1, a

= n – 2, a

= n – 3, …a

= n – i, …….. a

= 3, a

= 2, a

= 1, a

= 0, и b

= n + 1, b

= n + 2, b

= n + 3, …….. b

= n + i,……. b

= n + n – 1, b

= n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью

a

= n – i,b

= n + i, (2.

где i = 1,2,3, …….n.

Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть

a

+ b

= 2n и b

– a

= 2i, (2.4)

где i = 1,2,3, …….n.

Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. ?=i.

Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е.