Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

3) следует, что сумма симметричной пары чисел a и b является четным числом и равна

a + b = 2n. (1.5)

6) Из выражения (1.3) также следует, что разность пары чисел a и b также является четным числом и равна

b – a = 2?. (1.6)

Назовем эту разность (1.6) размахом симметричной пары.

7) Из выражения (1.6) вытекает

? =(b – a)/2. (1.7)

8) Можно утверждать, и это очевидно, что количество симметричных пар a и b на числовой оси равно значению n.

Важно исследовать следующий вопрос, в каких пределах изменяется числовое расстояние ?.

Для этого обратимся к числовой оси (рис.1) и построим таблицу 1 множеств симметричных пар при разных значениях n.

Таблица 1

Числоn

Симметричная пара чисел {(a, b)} числаn

Числовое расстояние ?

1

{(0,2)}

1

2

{(1,3),(0,4)}

1,2

3

{(2,4),(1,5),(0,6)}

1,2,3

4

{(3,5),(2,6),(1,7),(0,8)}

1,2,3,4

.

……………….

………

n

{(n–1,n+1), (n–2,n+2),……(1, n+n-1), (0, n+n)}

1,2,3,.

…n–1,n

где a и b – симметричные пары для числа n.

Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние ?, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.

Назовем числовое расстояние ? шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется

? = (1,2,3,……… n). (1.8)

Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.

Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.

Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.

Доказательство. Из свойств натуральных чисел N

известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде

n

= n

+ 1, (1.9)

Исходя из вышесказанного в (1.

9) можно записать

n

= n

+ ?, (1.10)

где ? число равное 1, 2, 3.….

Тогда можно записать, что и

n

= n

– ?. (1.11)

Отсюда имеем

n

= n

+ ?. (1.12)

Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем

n

– n

= n

– n

= ?. (1.13)

Далее если принять n

= b, n

= a, n

= n, то в новых обозначениях можно записать

n – a = b – n = ?. (1.