Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II

Таким образом, UPGMA или FM-алгоритм, выбирая ближайшие таксоны, выбирает для присоединения не соседей. Самый первый шаг соединения будет неправильным, и как только присоединимся к не соседям, то не восстановим истинное дерево. Суть проблемы заключается в том, что если молекулярные часы не работают, как в случае с деревом на рисунке 5.15, то ближайшие таксоны по расстоянию не обязательно должны быть соседями по дереву.

Вопросы для самопроверки:

– Если

 намного меньше

, то откуда уверенность в том, что молекулярные часы не работают в эволюции, описанной деревом на рисунке 5.

Рисунок 5.16. Дерево с соседями

 и

.

Таким образом, выбор ближайших таксонов для присоединения ввел заблуждение; нужен более сложный критерий выбора таксонов для присоединения. Чтобы изобрести его, представьте себе дерево, в котором таксоны

 и

 являются соседями, соединенными в вершине

, а

 каким-то образом соединена с оставшимися таксонами

, как показано на рисунке 5.

Если данные точно соответствуют этому метрическому дереву, то для каждого

, дерево будет включать поддерево, подобное изображенному на рисунке 5.17.

Рисунок 5.17. Поддерево дерева на рисунке 5.16.

Но на этом рисунке видим, что

, так как в сумму слева входят только длины четырех ребер, отходящих от листьев дерева, а в сумму справа – все они и, кроме того, удвоенная длина центрального ребра. Это неравенство называется 4-точечным условием для соседей.

 и

 являются соседями, то неравенство верно для любых значений

 из диапазона от 3 до

.

Условие 4-точек лежит в основе метода присоединения соседей, но предстоит еще много работы, чтобы перевести его в простую для применения форму. Для фиксированного

 существует

 возможных значения

 удовлетворяющих условию

 при

. Если просуммировать 4-точечные неравенства по этим

, то получим следующее неравенство, содержащее сумму расстояний

.

Чтобы упростить это неравенство, определим общее расстояние от таксона

 до всех других таксонов как

, где расстояние

 в сумме интерпретируется как 0, естественным образом. Затем, добавление

 к каждой стороне исходного неравенства позволяет записать его в более простой форме следующим незамысловатым образом

.

Вычитание

 из частей неравенство придает ему ещё более симметричную форму

.