Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Изменение временных шагов в модели

0 1                            2                            3

A                           2А                         4А                         8А

0             1             2             3             4             5             6

A                           2А                         4А                         8А

б. Задайте новую модель, которая описывает

 с интервалом в 1 год, обозначив размер популяции за

, в которой приращение

 на 1 представляло бы 0.

1 года (то есть

). Предлагается начать решение с создания таблицы, аналогичной таблице из части (a).

в. Предложите модель, которая согласуется с

 на интервале в 1 год, но описывает численность популяции

, где приращение t на 1 представляет собой h лет (таким образом,

).  Очевидно, что

 может быть больше или меньше 1; та же формула опишет любую ситуацию.

г. Обобщите части (а–в). Объясните, почему, если исходная модель использует приращение времени 1 год и задается уравнением

, то модель, описывающая те же популяции с интервалом в 1 год, но использующая приращение времени

 лет, будет задана уравнением

.

д. Если теперь изменить обозначение временного интервала с

 на

, то пункт (г) показывает, что

. Если

 считать бесконечно малым, то получим

. Проиллюстрировать тот факт, что

 можно выбрав несколько значений

 при малом

 и сравнив значения

 с 

.

Этот результат легко доказать формально:

.

д. Докажите, что решением уравнения

 при начальном условии

 является

.

Как это согласуется с формулой для выражения

 через

 и

 в модели разностного уравнения

? Специалисты часто называют

 в каждой из выведенных выше формул «конечной скоростью роста», в то время как

 называется «собственной скоростью роста».

1.

2. Нелинейные модели

Мальтузианская модель предсказывает, что рост числа обучаемых математиков будет экспоненциальным. Однако такое предсказание не может быть оставаться точным продолжительное время. Ведь экспоненциальные функции растут быстро и без ограничений; и, согласно такой модели, рано или поздно математиков окажется больше, чем количество атомов во Вселенной. Модель, разработанная в данном разделе, должна дополнительно учитывать какой-то важный фактор.