Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Чтобы быть более реалистичными в моделировании, нужно пересмотреть предположения, которые вошли в модель.

Главный недостаток заключается в предположении о том, что параметры

 (доля выпускающихся молодых специалистов) и

 (доля уходящих на заслуженных отдых пенсионеров) для моделируемой численности одинаковы независимо от текущего значения

 (количество профессиональных математиков работоспособного возраста). На самом деле, когда число

 становится большим, из-за перенасыщения рынка интеллектуального труда разумно ожидать более высокий уровень

 и низкий

.

Комбинируя эти факторы, можно сказать, что по мере увеличения численности

 конечные темпы её роста должны уменьшаться. Поэтому нужно как-то модифицировать модель так, чтобы темпы роста зависели от текущей численности; то есть скорость роста должна зависеть от так называемой «плотности».

Вопросы для самопроверки:

– Какие факторы могут стать причиной изменения плотности? Почему большое значение численности

 может иметь высокий уровень

 и/или низкий

?

Для создания нелинейной модели, чтобы спроектировать более адекватную модель, проще всего сфокусироваться на относительной величине

, показывающей долю изменения численности на общее число, то есть на темпе роста популяции за один шаг времени.

Как только поймем от чего зависят темпы роста общей численности на одного человека и найдем формулу для их описания, сможем получить из этого итоговую формулу для

.

При небольших значениях

 темпы роста на человека должны быть большими, можно представить себе небольшой элитарный клуб интеллектуалов с большим количеством ресурсов, доступных в его среде для поддержки дальнейшего роста численности. Однако для больших значений

 дальнейшая скорость роста численности должна быть намного меньше, поскольку люди конкурируют как за идеи, так и за финансы в сфере их профессиональных интересов. Для еще больших значений

 темпы роста должны быть отрицательными, это будет означать, что численность сократится.

Тогда разумно предположить, что искомая величина

, как функция от

, имеет график, представленный на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Темпы роста численности

 в зависимости от текущего значения численности

.

Конечно, нельзя предугадать, как выглядит график

 без сбора дополнительной информации. Возможно, график должен быть вогнутым или выпуклым, например.