Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Хотя нестабильные равновесия важны для понимания модели в целом, они не являются характерными особенностями популяции, которые стоит когда-либо ожидать в реальном мире.

Далее займёмся вопросами линеаризации. Следующая цель – определить, что заставляет одни равновесия быть стабильными, а другие – нестабильными.

Стабильность зависит от того, что происходит вблизи равновесия. Итак, чтобы сконцентрироваться в окрестности

, рассмотрим популяцию

, где

 – очень маленькое число, которое говорит о том, насколько далеко популяция находится от состояния равновесия.

Называется

 отклонением от равновесия и интересно тем, как оно меняется с течением времени. Вычислим

 и используем его для поиска

. Если

 больше, чем

 по абсолютной величине, то можно сделать вывод о том, что

 отдалилось от

. Если наоборот,

 меньше

 по абсолютной величине, то

 приблизилось к

. Если теперь проанализировать, как меняется

 на всех достаточно малых значениях

, то можно будет определить, является ли исследуемое равновесие стабильным или нестабильным.

Растущее отклонение означает нестабильность, в то время как уменьшающееся означает стабилизацию. Здесь не учитывается знак отклонения, рассматривая лишь абсолютное значение. Знак стоит принимать во внимание в последнюю очередь, так как он не имеет прямого отношения к вопросу о стабильности.

Пример. Рассмотрим модель

, с которой уже сталкивались ранее и знаем, что равновесие достигается в точках

 и 10.

В первую очередь исследуем

, которое, судя по графику, стабилен на основании численных экспериментов. Подстановка значений

 и

 в уравнение для модели приводит к следующему выводу:

Заметим, что

 является очень малым числом, меньше 1, следовательно,

 еще меньше и ничтожно мало по сравнению с

. Таким образом

.

Это означает, что значения

 близкие к равновесию будут иметь отклонение от равновесия, уменьшающееся примерно в 0.

3 раза с каждым последующим шагом времени. Поэтому небольшие отклонение от равновесия в дальнейшем уменьшаются и

 действительно стабильное значение.

Можно смотреть на число 0.3 как на «коэффициент растяжения», который говорит о том, насколько стремительно меняются отклонения от равновесия с течением времени. В данном примере, поскольку растягиваемся в менее чем 1 раз, на деле имеет место сжатие.