Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Процесс, описанный в примере выше, называется линеаризацией модели в равновесии, потому что сначала фокусируем внимание вблизи равновесия путем линейной замены

, а затем игнорируем члены степени больше 1 в

. Остается только линейная модель, аппроксимирующая исходную модель. Линейные модели, как видели, легко понять, потому что они производят либо экспоненциальный рост, либо распад.

Вопросы для самопроверки:

– Выполните аналогичный анализ для другого равновесия этой модели, чтобы показать, что оно нестабильно.

Каким будет коэффициент растяжения, на который расстояния от точки равновесия растут с каждым шагом времени?

В результате аналогичного анализа в окрестности 0 обнаружится, что линеаризация при

 дает

. Поэтому возмущения от этого равновесия со временем растут, следовательно,

 неустойчиво. В общем случае, когда коэффициент растяжения больше 1 по абсолютной величине, равновесие нестабильно. И наоборот, когда оно меньше 1 по абсолютной величине, равновесие стабильно.

Из курса математического анализа известно, что вышеописанный процесс линеаризации напоминает аппроксимацию графика функции по касательной прямой. Развивая эту идею коэффициент растяжения в предыдущем примере можно было бы выразить как отношение

 при бесконечно малых значениях

. Но

, где

 уравнение, определяющее модель. Заметим, что в последнем равносильном преобразовании использовалось равенство

.

Поскольку интересны лишь значения

, очень близкие к

, то последнее выражение очень близко к предельному значению

. Но этот предел по определению является не чем иным, как производной

, производной функции, определяющей модель. Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Если модель

 имеет равновесное значение

, то

 подразумевает, что значение

 нестабильно, а при

 , будет

 стабильным значением. Если же

, то этой информации недостаточно для определения стабильности и необходимо проводить дополнительное исследование.

Пример. Пусть

, тогда

. Вычислим

. Следовательно,

, поэтому

 стабильно.

Обратите внимание, что в этом примере значение, которое нашли для

, оказалось точно таким же, как значение, которое нашли для «коэффициента растяжения» в примере выше, без использования инструментов дифференциального исчисления.