Пушистые логарифмы

Напрашивается удивительный вывод: наше мышление имеет доступ к информации, которую невозможно получить через органы чувств или вывести чисто логически. Возникают вопросы: каковы же тогда возможности нашего интеллекта и каков источник этого знания?

Натуральные числа – лазейка в интеллектуальный лабиринт, ведущий в глубочайшие тайники человеческого мышления и, по-видимому, самой реальности.

Скатерть улама, или как найти бездну в собственном разуме

В 6-м классе школьники, как правило, знакомятся с простыми числами.

Для тех, кто забыл, напоминаем: натуральными мы называем числа, которые используем для счета предметов: 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, 13, 14… и так до бесконечности. Соответственно, все, что не входит в это множество, натуральными числами не является – например, отрицательные числа или дроби.

Простыми мы называем все натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. Все остальные числа называются составными. Например, 12 = 3 * 2 * 2, т.

е. число 12 разбивается на три простых множителя. Аналогично каждое составное число можно «построить» из простых, как из неких первичных кирпичиков. 15 = 3 * 5, 36 = 2 * 2 * 3 * 3 и т. д.

Вроде бы и правда все очень просто.

Однако на деле простые числа оказываются не такими уж простыми. Главная их тайна состоит в том, что за всю историю человечества еще никому не удалось найти закон, по которому они распределены во множестве натуральных чисел. Если, к примеру, все четные числа можно легко задать формулой x = 2 * n, а квадраты – x = n ^ 2, то для простых чисел нет не то что простой формулы, а вообще никакой.

Простые числа набросаны во множестве натуральных по какой-то своей непостижимой логике – словно драгоценные камни в земной коре или звезды на небе.

Попытки разгадать логику их расположения предпринимались неоднократно, но дело не шло дальше нахождения отдельных островков, подчиняющихся своим локальным законам. Например, Эйлер нашел многочлен x2 – x +41 при подстановке вместо x чисел от 1 до 40 дающий только простые числа.

Впоследствии было найдено множество других аналогичных формул.

И тем не менее было непонятно, является ли наличие подобных скоплений проявлением некой глубинной закономерности или простой случайностью.

Скопления простых чисел можно сравнить с зарослями деревьев, причудливо раскиданных по земле, но однажды кое-кому открылось то, что можно назвать видом с высоты на эти заросли.

В 1963 г.