Действуй, мозг! Квантовая модель разума

Однако важнейшее достоинство теории множеств состоит в её универсальности.

Множества могут быть любыми: конечными, как {0; 1}, и бесконечными – если, например, взять ряд натуральных чисел. Из этого, более мощного, множества можно построить те же четыре бинарные последовательности.

Следовательно, одни множества являются подмножествами других множеств: более мощных, конечных и бесконечных. Тогда, например, все возможные логические высказывания есть подмножество всех высказываний на данном языке, а все гены человека – подмножество всех генов человечества.

Некоторые математики были настолько очарованы теорией множеств, что посчитали возможным создать универсальную аксиоматическую математику (и логику заодно). Их назвали «формалистами».

К ним принадлежал, например, великий математик Давид Гильберт, попытавшийся обосновать тезис о существовании в математике абсолютных истин и/или аксиом. Если б замысел Гильберта удался, то вывод математических теорем в наши дни стал бы рутинным заданием в младшей школе.

С формальным подходом не согласились «интуиционисты», посчитавшие абстракции вроде бесконечных множеств бесполезными развлечениями и требовавшие конструирования цепочек непротиворечивых доказательств любых математических объектов.

Такой взгляд, в частности, выражал другой величайший математик – Анри Пуанкаре. Начальной точкой рассуждений он признавал догадку. Которая выносилась на суд коллег-учёных и, если они с ней соглашались, становилась конвенцией.

Само собой, что конвенция никакой абсолютной истиной не является (это результат договорённости, подобно тому, как Джордж Буль предлагал прежде всякого исследования определить, что считать фактом). Но это несущественно, так как догадка в любом случае будет подвергнута проверке.

Таким образом, у формалистов закон снятия двойного отрицания и доказательство от противного считались аксиомами, а у интуиционистов не считались таковыми.

Условно говоря: спорили о том, можно или нельзя при разборе классического силлогизма опровергнуть/вычислить высказывание «Все не люди не смертны». При том, что «Все люди смертны» – истина.

Или: число 17 – нечётное по определению (мы договорились считать его таковым), или оно нечётное, потому что это можно доказать от противного (принимаем закон снятия двойного отрицания как абсолютную истину).