Введение в финансовую математику

Поскольку сложные проценты начисляются на капитализированную сумму, после второго периода n

наращенная сумма составит:

После k-ого периода n

найдем требуемую наращенную сумму:

Из полученной формулы можно сделать следующие выводы, аналогичные тем, что были сделаны ранее для простых процентов: размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один, длительность которого равна сумме длительностей исходных промежутков.

Аналогично предыдущему можно ввести понятие эффективной ставки сложных процентов (см. подробнее об этом ниже):

Здесь ?

= n

/ n – доля промежутка n

в полном сроке рассматриваемого кредита. Получается, что для случая с переменной процентной ставкой можно ввести понятие эффективной процентной ставки сложных процентов, рассчитываемой как взвешенное произведение процентных ставок каждого периода, и которую можно использовать как единый эквивалент для расчета наращенной суммы:

S = P (1 + i

)

.

Сложные проценты с начислением чаще, чем раз в год

Во всех рассуждениях ранее при использовании сложных процентов предполагалось, что они начисляются один раз в год. Однако на практике встречаются случаи, когда начисление происходит чаще.

Пусть оно происходит m раз в год, где m – натуральное число. Например, начисление может происходить ежемесячно (m = 12).

Для сложных процентов с начислением один раз в год была получена формула:

S = P (1 + i)

.

Теперь мысленно предположим, что в рассуждениях, из которых была выведена эта формула, период времени «год» будет заменен на период времени «1/m года» или «m-ая доля года». Поскольку все рассуждения останутся в силе, получим формулу:

где i

– процентная ставка за «m-ую часть года», n

– срок, отраженный в «m-ых частях года» (а не в годах, как ранее).

Для того, чтобы вернуться к используемым ранее обозначениям выразим i

и n

через годовые переменные:

i

=i / m, n

= mn.

Последнее соотношение легко интерпретируемо: при сроке n лет количество периодов размером «1/m года» равно mn.