Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Введение этого термина объясняют тем, что такие числа раскрывают (обнажают) свои сокровенные тайны. В первом миллионе натуральных чисел содержится 9039 обнаженных чисел. Всего таких чисел бесконечно много, так как любое моноцифровое число является обнаженным.

Первые обнаженные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99, 111, 112, 115, 122, 124, 126, 128, … . Насколько мне удалось выяснить, этот странный термин ввел некий У. Катагири. Фамилия, распространенная в Японии настолько, что установить, кто он такой не удалось.

Полет фантазии

Процесс отыскания и наименования новых классов чисел среди чисел натуральных, кроме уже рассмотренных, шел сотни лет. Придумано так много разного, что издание с кратким описанием всего открытого и названного должно быть многотомным. Можно только на свой вкус отобрать конечное множество разнообразных определений чисел, и в какой-то момент сказать себе стоп! Попробуем так и сделать.

***

Бесквадратным, или свободным от квадратов, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1.

К примеру, 10 – свободное от квадратов, а 18 – нет, так как 18 делится на 9=3

. Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … .

Натуральное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители ни одно простое число не встречается больше одного раза, то есть все простые множители входят в разложение числа только в первой степени.

***

Гладким числом называется натуральное число, все простые делители которого малы. Поскольку понятие «делители малы» может быть истолковано произвольно, чаще всего гладким числом называют такое, чьи простые делители не превосходят 10 (то есть, фактически равны 2, 3, 5 или 7).

Натуральное число называется M-гладким, если все его простые делители не превосходят M.

Исходя из этого определения, можно говорить о 3-гладких, 5-гладких, 7-гладких и т. д. числах. Например, к 3-гладким числам относятся: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, ….Все они в разложении на простые множители имеют только два простых числа 2 и 3 в различных степенях. Число 5000 имеет следующее разложение на множители: 2

·5

. Поэтому 5000 – это 5-гладкое число, а также 6-гладкое число и так далее, но не 4-гладкое.