Путешествие в квантовую механику

Символом ? обозначают сумму операторов ?

/?x

+?

/?y

+?

/?z

+…, знак ?

эквивалентен частной производной ?/?t. Уравнение Шрёдингера, полученное для одномерного случая, можно преобразовать к виду:

4.1 Пример решения уравнения Шрёдингера

Осуществляя поиск аналитического решения уравнения Шрёдингера, необходимо разложить в ряд Фурье следующие выражения: ?

, F (x) и U

(x) F (x), тогда:

где R

 – координата граничного условия Дирихле; F (x) – произвольно заданная дифференцируемая функция, F (x) ?C.

Домножим левую и правую части тождества (4) на величину F (x), следовательно:

Заменим неизвестные переменные в формуле (4`) на соотношения A`, B`, C`, тогда:

В состав выражения (4*) входит общий множитель e

e

. Необходимо сократить последний, оставив в результате только коэффициенты тригонометрического ряда. Выполним следующие преобразования:

Разделим переменные относительно ?

(t, n

, m

), тогда:

Исходя из тождества ограниченности вероятности ?

?

?

*dx=1, возможно определить коэффициент C

.

В рассматриваемом примере существует зависимость величины C

от времени t. Потребуем, чтобы множитель C

оставался постоянным в том случае, когда E

?R. Область определения волновой функции будет лежать в пределах отрезка [0,R

].

Вместе с тем для коэффициента R

возможно задать любое значение R

> 0?R, тогда:

Исходя из стационарного одномерного уравнения Шрёдингера, можно определить полную энергию электрона E

, находящегося в состоянии p, следовательно:

Для трёхмерного базиса величина E

составит:

В общем случае переменная E

окажется неопределённой, поскольку в выражении, полученном для полной энергии E

, будут присутствовать произвольные функции: F (x) – для одномерной или F (x,y,z) – для трёхмерной системы координат.

Таким образом, опираясь на предложенную в данном параграфе методику, можно констатировать, что величина E

, выраженная в общем виде, будет зависеть от случайных процессов, происходящих в квантовой системе. В стационарных условиях левая и правая части тождества (4!!) примут фиксированные во времени значения.

4.2 Кот Шрёдингера.