Исследование и оценка параметров сигналов в распределенных информационных системах. Для студентов технических специальностей

Применяя к частице, находящейся под действием только сил давления, второй закон Ньютона и используя теорему Гаусса – Остроградского заменяя интеграл по поверхности интегралом по объему, а также учитывая непрерывности всех характеристик среды, что позволяет градиент давления на протяжении малой частицы считать постоянным, получить уравнение Эйлера (2.1).

Если помимо сил давления на среду действуют сторонние силы Fа. ст, распределенные с плотностью ? на единицу объема, то уравнение (2.1) примет вид (2.2).

Уравнение движения среды есть нелинейное векторное уравнение первого порядка относительно характеристик среды р, v, ?.

Уравнение неразрывности среды. Если в среде не образуется разрывов (как, например, разрывы при кавитации), то уравнение неразрывности применимо к исследуемой среде.

Рассмотрим объем среды, ограниченный неподвижной поверхностью S. Если разрывов нет, то приращение массы в объеме равно массе среды, втекшей через поверхность S. Запишем скорость приращения массы в малом объеме, массу, втекающая за единицу времени через элемент поверхности dS, равную v dS.

Заменяя интеграл по поверхности интегралом по объему, получим уравнение неразрывности в виде (2.3).

Уравнение неразрывности скалярно и, как уравнение Эйлера, нелинейно относительно характеристик среды. В дальнейшем встретятся случаи движения среды, удовлетворяющие вместо уравнения неразрывности уравнению вида (2.4).

Это уравнение можно также интерпретировать как уравнение неразрывности, но примененное к среде, куда поступает «из ниоткуда» дополнительное «стороннее» количество среды.

Уравнение состояния связывает давление, плотность (или сжатие) и температуру среды. Уравнение состояния не имеет какого-либо стандартного вида для всех веществ, наподобие уравнения Эйлера или уравнения неразрывности. В общем виде уравнение можно записать в виде (2.5).

Уравнение состояния также нелинейно.

Если при данном движении среды плотность однозначно связана с давлением (так бывает обычно в акустике), то уравнение состояния можно записать в виде (2.6).

Система уравнений (2.1), (2.3) и (2.5) или (2.6) является полной системой уравнений гидродинамики.

Волновое уравнение. Полная система уравнений гидродинамики это – нелинейные, точные уравнения. В дальнейшем будем пользоваться приближенными уравнениями линейного типа.