Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?

Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).

2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)

). В нашем случае речь идет о Y

и Y

:

– скорость роста числа сотрудников;

– скорость увеличения капитала фирмы.

Сформулируем первую главную пропорцию

:

скорость роста числа сотрудников (dY

/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.

При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y

, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y

).

(16)

где ? – коэффициент пропорциональности, показывающий, какую часть своего капитала может выделить фирма, чтобы привлечь новых сотрудников; ? – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе различные причины, в результате которых сотрудник может уволиться (или его уволят).

Cформулируем вторую главную пропорцию:

скорость увеличения капитала пропорциональна прибыли от вложения капитала минус расходы на сотрудников.

При этом прибыль от вложения капитала пропорциональна величине вложенного капитала (~Y

), а расходы на сотрудников пропорциональны их количеству (~Y

). Так же заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, вторую главную пропорцию приводим к уравнению:

(17)

где µ – коэффициент пропорциональности, показывающий эффективность работы фирмы на рынке; ? – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе среднюю величину затрат фирмы на одного сотрудника.

2.1.2. Эволюционным уравнением задачи является система уравнений (16) и (17), так как она удовлетворяет общему виду (П6) эволюционных уравнений:

Применив к (18) условие (П8), найдем стационарное решение:

Y

= Y

= 0. (19)

2.1.3. Обратите внимание: наша модель средней фирмы имеет две переменные Y

и Y

.