Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Специфика страховой фирмы проявляется в составляющих ее дохода и расхода. Введем следующие обозначения:

N – количество клиентов;

s – страховой взнос клиента;

p – размер страховой выплаты клиенту;

Q* – количество страховых выплат.

Тогда доход фирмы равен sN, а расход – pQ*. В результате приходим к известному уравнению, характеризующему суть страхового бизнеса:

Y = sN – pQ*. (21)

2.2.1. Модель государственной страховой фирмы

Характерной особенностью государственной страховой фирмы является требование всеобщего страхования (например, в рамках конкретного страхового профиля), т.

 е. N = const.

В качестве переменной задачи выберем прибыль страховой компании Y. Сформулируем главную пропорцию: прирост прибыли dY/dt (увеличение прибыли с течением времени t) пропорционален числу клиентов, а также величине самой прибыли, если часть прибыли вкладывается в какие-нибудь доходные предприятия (~ NY). Кроме того, следует отнять ту часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~ Q*).

Уравнение, соответствующее данной пропорции, примет вид

(22)

где знак пропорции ~ мы заменили коэффициентами пропорциональности ? и ?.

Выразим Q* из (21)

Подставив это выражение в (22), получим

и окончательно

(23)

– эволюционное уравнение государственной страховой фирмы. В (23) введены обозначения: ? = ?/p; ? =?s/p.

Стационарное решение Y

уравнения (23) найдем из условия (П8) (dY

/dt = 0):

0 = Y

(? N + ?),

откуда

– стационарное значение прибыли в государственной страховой фирме.

Зададим возмущение y для Y

. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде

y = c exp (?t).

Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:

a

– ? = 0,

Следовательно, ? = a

и

y = c exp (a

t). (24)

где a

вычисляется по формуле (П12).

В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:

(25)

где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности ? положителен). Следовательно,

a

> 0.

Как видим, возмущение y из (24) увеличивается с течением времени.