Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Последнее означает, что Y

является неустойчивым.

Таким образом, в рамках рассмотренной модели стабильное получение прибыли государственной страховой фирмой возможно лишь в сильно консервативном обществе, когда возмущение, создаваемое конкуренцией на рынке, отсутствует.

2.2.2. Модель частной страховой фирмы

Характерной особенностью частной страховой фирмы является зависимость числа клиентов от времени. Следовательно, в этой модели число клиентов N необходимо учитывать в качестве переменной, которую обозначим как Y

.

Как и в предыдущем случае, прибыль страховой фирмы является переменной величиной, ее мы обозначим Y

.

2.2.2.1. Главные пропорции частной страховой фирмы можно сформулировать следующим образом.

1. Прирост клиентов dY

/dt пропорционален размеру получаемой прибыли Y

(средний клиент предпочитают иметь дело с более богатой фирмой), среднему в данном регионе доходу клиента D

и среднему в данном регионе количеству несчастных случаев Q (~Y

D

Q). Отрицательная составляющая пропорции обусловлена теми клиентами, которые по каким-то причинам отказались от услуг фирмы (математически количество таких клиентов составляет некоторую долю от общего числа клиентов, которая статистически тем больше, чем больше у фирмы клиентов), т.

 е. отрицательная составляющая ~Y

.

2. Прирост прибыли dY

/dt пропорционален числу клиентов Y

, а также той части прибыли Y

, которую фирма вкладывает в доходные предприятия (~Y

Y

). Отрицательная составляющая представляет собой часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~Q*).

Заменив знак пропорции ~ на коэффициенты пропорциональности ?, ?, µ и ?, придем к следующей системе двух уравнений

или

где c = ?D

Q.

Количество страховых выплат Q* найдем из (21) (напомним, что в данной модели в роли Y выступает Y

, в роли N выступает Y

):

Подставим это выражение в (26)

(27)

где введены обозначения ? = ?/p; ? = ?s/p.

Выражение (27) представляет собой систему эволюционных уравнений частной страховой фирмы (сравните с (П6)).

2.2.2.2. Найдем стационарное решение. Для этого к (27) применим условие (П8):

Как видим, второе уравнение дает для Y

два значения:

С учетом первого уравнения приходим к двум стационарным решениям (стационарным состояниям фирмы):

(28)

2. Y

ст = Y

ст = 0.