Нейронные сети. Эволюция

Производная функции

Мы можем говорить о скорости изменения чего угодно – физической величины, экономического показателя и так далее.

Рассмотрим функцию y = f(x). Отметим на оси X, некоторое значение аргумента x, а на оси Y – соответствующее значение функции y = f(x).

Дадим аргументу x, некоторое приращение, обозначенное как ?х. Попадаем в точку х+?х. А соответствующие этим значениям аргументов, значение функции обозначим соответственно f(x), ?f и f(x+?х). Приращение аргумента ?х, есть аналог промежутка времени ?t, а соответствующее приращение функции – это аналог пути ?s, пройденного за время ?t.

Если представить, что ?х – бесконечно мала, т.е. стремиться к нулю (?х-›0), то выражение нахождения изменения скорости можно записать как:

Или исходя из геометрического представления, описанного ранее:

Отсюда вывод, что производная функции f(x) в точке х – это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Нахождение некоторых табличных производных

Решим найденным способом, наш первый пример, когда скорость автомобиля была постоянной, на всем промежутке времени. В этом примере, приращение функции равно нулю (?s = 0), и соответственно тангенса угла не существует:

?s = s(t+?t) – s(t) = s(t) – s(t) = 0

Итак, имеем первый результат – производная константы равна нулю. Этот результат мы уже выводили ранее:

Откуда можно сформулировать правило, что производная константы, равна нулю.

s(t) = с, где с – константа

с? = 0

Запись с? – означает что берется производная по функции.

Во второй примере, когда изменение скорости автомобиля проходило линейно, с постоянным изменением, найти производную функции (s = 0,2t + 1,5), не зная правил дифференцирования сложных функций, мы пока не сможем, поэтому отложим этот пример на потом.

Продолжим с решения третьего примера, когда изменение скорости автомобиля проходило не линейно:

s = t?

Приращение функции и производная:

s(t) = t?

?s = s(t+?t) – s(t) = (t+?t) ? – t? = t? + 2t?t + ?t? – t? = ?t(2t+?t)

Вот мы и решили наш третий пример! Нашли формулу точного изменения скорость от времени.

s(t) = t?

s?(t) = 2*3 = 6

Точный ответ, в пределах небольшой погрешности, почти сошелся с вычисленном до этого приближенным ответом.