Высшая математика. Шпаргалка

Отношение k = b / aкоэффициент сжатия величина ? = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x

/ a

+ y

/ b

= 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F

имеет одно и то же значение 2а (F

M + FM = 2a) (рис. 4).

Рис. 4

Точки F и F

называются фокусами эллипса, а отрезок FF

– фокусным расстоянием, обозначается FF

= 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ? – это отношение фокусного расстояния к большой оси ? = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k

= 1 – ?

.

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F

имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F

M – FM| = 2a. Точки F, F

называются фокусами гиперболы, расстояние FF

= 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х

/ а

+ у

/ (а

– с

) = 1. Асимптоты гиперболы заданы у

равнениями у = bx / a и y = – bx / a (b

= c

– a

).

Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ(директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у

= 2рх.

Рис. 5

5. Аналитическая геометрия в прост

ранстве. Плоскость

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости:Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей

: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1.