Методика преподавания математики в начальной школе

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением.

Рассмотрим как образец пары выражений:

3 + 5 и 3 ? 5; 2 + 7 и 2 ? 7; 4 + 8 и 4 ? 8. Можно с уверенностью утверждать, что сумма этих чисел меньше произведения. На основании этого можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

(? а,в Є N)[а + в < а ? в].

Но это утверждение ложно, т.к. можно привести контрпример: числа 1 и 2 – натуральные, но их сумма больше, чем произведение 1 + 2 < 1 ? 2. Значит, к выводам, полученным с помощью неполной индукции, важно относится осторожно. Они носят характер предположения (гипотезы) и нуждаются в проверке. Их доказывают или опровергают.

Таким образом, неполная индукция и дедуктивные умозаключения взаимосвязаны. Все математические утверж

дения (теоремы, аксиомы, определения, правила), используемые в дедуктивных умозаключениях, часто являются результатом индуктивного обобщения. А индуктивного умозаключения расширяют математические знания.

В третьем случае используется аналогия (греч. – «сходство, соответствие»).

Аналогия – умозаключение, в котором на основании сходства объектов по некоторым признакам и при наличии другого признака у одного из них, делается вывод о наличии этого пр

изнака у другого объекта.

Термином «объект» называются реальные предметы, модели, рисунки, числовые и буквенные выражения, задачи. Аналогия помогает открывать новые и использовать усвоенные способы действия в измененных условиях. Выводы по аналогии также требуют доказательства или опровержения, т.к. носят характер предположения.

Например, при изучении понятия о десятичной системе счисления, учащиеся изучают названия классов и разрядов. Изучая класс единиц, дети знакомятся с разрядами единиц, де

сятков, сотен, в классе тысяч – единицами тысяч, десятками тысяч, сотнями тысяч. По аналогии они уже могут назвать разряды классов миллионов и миллиардов.

Знакомясь с дистрибутивным свойством умножения, учащиеся используют его при выполнении умножения двузначных чисел:

23 ? 4 = (20 + 3) ? 4 = 20 ? 4 + 3 ? 4 = 80 + 12 = 92

По аналогии они выполняют умножение трехзначных чисел:

123 ? 4 = (100 + 20 + 3) ? 4 = 100 ? 4 + 20 ? 4 + 3 ? 4 = 400 + 80 + 12 = 492

По аналогии они выполняют умножение четырехзначных чисел:

5123 ? 4 = ……………..

А далее делается обобщение: выводится алгоритм умножения многозначного числа на однозначное – неполная индукция.

Практическая работа

Выделите в перечисленных умозаключениях посылки и заключ

ения.