100 задач с числом года. Часть 1. Выпуск 1

Но для каждой задачи обязательно приводится пример для конкретного числа года (2023).

Иногда решение задачи в общих обозначениях даже очевиднее, чем для конкретного числового её воплощения. В некоторых случаях наоборот.

Условимся о некоторых нюансах.

1. Всегда будет подразумеваться, что разговор идёт в рамках десятичной системы счисления.

2. Все сто задач разбиты на группы по требованию: задачи на вычисления, на доказательство, решение уравнений и т. д. При этом в рамках одной группы тоже есть некоторая упорядоченность, но она не имеет большого значения, чтобы об этом стоило говорить.

3. Задачи не упорядочены по трудности – задача, которую можно решить устно, и задача, требующая письменных трудоёмких выкладок, могут стоять рядом; есть те, о способе решения которых догадаться нетрудно, а есть задачи на «подумать».

4. Задачи не упорядочены по школьной программе: по условию может показаться, что задача из 7-го класса, а по методу решения она оказывается из 11-го.

5. Ответом вычислительных задач может быть не число, а числовое выражение, если результат содержит огромное количество цифр или требует изнурительных вычислений.

Основные обозначения в рамках этой книги:

N – число года (2023, 2024, 2025…)

a – цифра десятков числа года

(в текущем десятилетии это «2»)

b – цифра единиц числа года (в 2023 году это «3»)

(10a + b) – двузначное число, образованное двумя последними цифрами числа года (в 2023 году это «23»)

m/n – дробь с числителем m и знаменателем n

n! – факториал натурального числа (произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n)

Если у читателей будут возникать замечания (о найденных опечатках или – о ужас! – ошибках), то прислать их можно по ссылке: https://vk.

Часть I.

ЗАДАЧИ

СО СТАНДАРТНЫМ УСЛОВИЕМ

И

УНИВЕРСАЛЬНЫМ

СПОСОБОМ РЕШЕНИЯ

Числовые выражения

Найдите значение предложенных числовых выражений

1. N 

 – (N – 1)

.

Например, 2023

 – 2022

.

2. (100010001 ? N) ? (N – 1) – (100010001 ? (N – 1)) ? N.

Например, 202320232023 ? 2022 – 202220222022 ? 2023.

3. N 

 – (N – 1)

.

Например, 2023

 – 2022

.

4. log

log

N.

Например, log

log

2023.

Найдите сумму чисел

5. 1 +2 +3 + … + N.

Например, 1 +2 +3 + … +2023.

6. N + (N – 1) + … +2 +1.

Например, 2023 +2022 + … +2 +1.

7.