Путешествие в квантовую механику

Определим частную производную решения Q`` по времени, тогда:

Последнюю формулу возможно преобразовать к виду:

Выражения Q

и Q`` будут тождественно равны друг другу в рамках одной итерации. Подставим величины Q

, D и Q`` в уравнение (3**), а затем произведём обратное преобразование Фурье. В результате получим соотношение:

С каждой новой итерацией по времени в формулы (3`), (3.1), (3.2), (3.3) и (3``) вместо выражения Q`` следует подставлять известное решение Q

, тогда:

Расчёт необходимо выполнять до тех пор, пока не будет достигнуто условие V`?t=T*, здесь T* – промежуток времени, определяющий эволюцию искомой функции Q``; ?t – величина шага по времени; V` – общее количество итераций.

3.3 Частное решение дифференциального уравнения

В предыдущем параграфе мы рассмотрели методику, направленную на решение дифференциальных уравнений, выраженных в общем виде. Разбирая частный случай данной задачи, необходимо потребовать, чтобы исследуемое дифференциальное уравнение было линейным.

Если величины n

, n

, n

окажутся положительными, то справедливым будет следующее условие: Q``?R. Кроме того, в одномерном случае переменные Q`` (0) и Q`` (R

) должны принимать нулевые значения Q`` (0) =Q`` (R

) =0. Таким образом, величину F (x,y,z) возможно представить в виде тождества:

здесь x? [0,R

]; y? [0,R

]; z? [0,R

].

Преобразуем выражение (3.1), тогда:

Разложим в ряд Фурье функцию D, следовательно:

Уравнение (3.

5) можно представить в виде соотношения:

Коэффициенты Фурье, которые соответствуют следующей по времени итерации, легко можно выразить через коэффициенты Фурье, полученные для предыдущей итерации.

Уравнение Шрёдингера, составленное для постоянной потенциальной энергии, является линейным. Отсюда следует, что решение рассматриваемого дифференциального уравнения возможно представить в виде тождества (3.

7), поскольку в данном случае величины n

, n

, n

примут положительные значения. Более того, если подставить в качестве решения функцию

то справедливым окажется соотношение:

Получим частное решение уравнения Шрёдингера, следовательно:

Общее решение ?

является суммой частных по n

, n

, n

.

Под обозначением ?

* понимается комплексно сопряжённая волновая функция.